题文
已知函数
的定义域为
，若
在
上为增函数，则称
为“一阶比增函数”；若
在
上为增函数，则称
为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为
，所有“二阶比增函数”组成的集合记为
.
(Ⅰ)已知函数
，若
且
，求实数
的取值范围；
(Ⅱ)已知
，
且
的部分函数值由下表给出，
求证：
；
(Ⅲ)定义集合
请问：是否存在常数
，使得
，
，有
成立？若存在，求出
的最小值；若不存在，说明理由. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（I）
(Ⅱ)见解答(Ⅲ)
.
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解析
（I）理解
且
的意义,代入后利用函数的性质求解; (Ⅱ)通过表格得到
，再运用
为增函数建立不等式，导出
，运用
即可. (Ⅲ)判断
即运用反证法证明
,如果
使得
则利用
即
为增函数一定可以找到一个
，使得
，
对
成立;同样用反证法证明证明
在
上无解;从而得到
，
对
成立,即存在常数
，使得
，
，有
成立,选取一个符合条件的函数
判断
的最小值是
,由上面证明结果确定
即是符合条件的所有函数的结果.
试题解析：（I）因为
且
，
即
在
是增函数，所以
2分
而
在
不是增函数，而
当
是增函数时，有
，所以当
不是增函数时，
.
综上得
4分
(Ⅱ) 因为
，且
所以
，
所以
，
同理可证
，
三式相加得
所以
6分
因为
所以
而
，所以
所以
8分
(Ⅲ) 因为集合
且存在常数
,使得任取
所以
，存在常数
，使得
对
成立
我们先证明
对
成立
假设
使得
，
记
因为
是二阶增函数，即
是增函数.
所以当
时，
，所以
所以一定可以找到一个
，使得
这与
对
成立矛盾 11分
对
成立
所以
，
对
成立
下面我们证明
在
上无解
假设存在
，使得
，
则因为
是二阶增函数，即
是增函数
一定存在
，这与上面证明的结果矛盾
所以
在
上无解
综上，我们得到
，
对
成立
所以存在常数
，使得
，
，有
成立
又令
，则
对
成立，
又有
在
上是增函数，所以
，
而任取常数
，总可以找到一个
，使得
时，有
所以
的最小值为
. 14分
考点
据考高分专家说，试题“已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。
指数型复合函数的性质的应用:
(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：
；②
.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如
一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数
的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数
的值域；
③当a>l时，函数
与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.
