题文
设
是定义在
的可导函数，且不恒为0，记
．若对定义域内的每一个
，总有
，则称
为“
阶负函数 ”；若对定义域内的每一个
，总有
，则称
为“
阶不减函数”（
为函数
的导函数）．
（1）若
既是“1阶负函数”，又是“1阶不减函数”，求实数
的取值范围；
（2）对任给的“2阶不减函数”
，如果存在常数
，使得
恒成立，试判断
是否为“2阶负函数”？并说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
（2）所有满足题设的
都是“2阶负函数”
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解析
解：（1）依题意，
在
上单调递增，
故
恒成立，得
， 2分
因为
，所以
． 4分
而当
时，
显然在
恒成立，
所以
． 6分
（2）①先证
：
若不存在正实数
，使得
，则
恒成立． 8分
假设存在正实数
，使得
，则有
，
由题意，当
时，
，可得
在
上单调递增，
当
时，
恒成立，即
恒成立，
故必存在
，使得
（其中
为任意常数），
这与
恒成立（即
有上界）矛盾，故假设不成立，
所以当
时，
，即
； 13分
②再证
无解：
假设存在正实数
，使得
，
则对于任意
，有
，即有
，
这与①矛盾，故假设不成立，
所以
无解，
综上得
，即
，
故所有满足题设的
都是“2阶负函数”． 16分
点评：主要是考查了新定义的运用，以及函数与方程的运用，属于中档题。
考点
据考高分专家说，试题“设是定义在的可导函数，且不恒为0，记．若.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。
指数型复合函数的性质的应用:
(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：
；②
.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如
一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数
的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数
的值域；
③当a>l时，函数
与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.
