题文
已知函数
的定义域为
，对定义域内的任意x，满足
，当
时，
（a为常），且
是函数
的一个极值点，
(1)求实数a的值；
(2)如果当
时，不等式
恒成立，求实数m的最大值；
(3)求证：
题型：未知 难度：其他题型
答案
(1)
；(2)2；(3)详见解析.
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解析
(1)利用
为奇函数，所以设
，利用
，求出
时的
，然后再求
时的
，再根据
，求出
，验证所求
能够使
是函数
的一个极值点；(2)不等式
恒成立，转化为
恒成立，设
，即求
的最小值，求
,再设
,易求
,当
时，
为增函数，
最小，
，即
逐步分析
为单调递增函数，从而求得最小值.(3)通过
代入(2)式恒成立不等式
，变形放缩后得到
,为出现(2)要证形式，所以令
,则
,然后将k=1,2, n,代入上式，累加，从而得出要证不等式.此题综合性较强.
试题解析：(1)由题知对定义域内任意
，
，
为奇函数，
当
时，
，
，
当
时，
由题知：
，解得
，经验证，满足题意.
(2)由(1)知
当
时，
，令
则
时，
恒成立，转化为
在
恒成立.
令
，
，则
，
当
时，
，
在
上单调递增.
当
时，
，
在
单调递增.
则若
在
恒成立，则
的最大值2.
(3)由(2)知当
时，有
，即
则
令
，则
当
时，
；当
时，
；当
时，
；
当
时，
将以上不等式两端分别相加得：
即
.
考点
据考高分专家说，试题“已知函数的定义域为，对定义域内的任意x，.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。
指数型复合函数的性质的应用:
(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：
；②
.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如
一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数
的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数
的值域；
③当a>l时，函数
与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.
