题文
对于函数
，若在定义域存在实数
，满足
，则称
为“局部奇函数”．
（1）已知二次函数
，试判断
是否为“局部奇函数”？并说明理由；
（2）设
是定义在
上的“局部奇函数”，求实数
的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）是“局部奇函数”；（2）
.
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解析
（1）本题实质就是解方程
，如果这个方程有实数解，就说明
是“局部奇函数”，如果这个方程无实数解，就说明
不是“局部奇函数”，易知
有实数解，因此答案是肯定的；（2）已经明确
是“局部奇函数”，也就是说方程
一定有实数解，问题也就变成方程
在
上有解，求参数
的取值范围，又方程可变形为
，因此求
的取值范围，就相当于求函数
的值域，用换元法（设
），再借助于函数
的单调性就可求出.
试题解析：(1)
为“局部奇函数”等价于关于
的方程
有解．
即
（3分）
有解
为“局部奇函数”．（5分）
(2)当
时,
可转化为
（8分）
因为
的定义域为
,所以方程
在
上有解,令
,（9分）
则
因为
在
上递减,在
上递增,
（11分）
（12分）
即
（14分）
考点
据考高分专家说，试题“对于函数，若在定义域存在实数，满足，则称.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。
指数型复合函数的性质的应用:
(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：
；②
.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如
一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数
的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数
的值域；
③当a>l时，函数
与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.
