题文
（本小题满分14分）已知二次函数
的图象过点
，且函数对称轴方程为
.
（Ⅰ）求函数
的解析式；
（Ⅱ）设函数
，求
在区间
上的最小值
；
（Ⅲ）探究：函数
的图象上是否存在这样的点，使它的横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由. 题型：未知 难度：其他题型
答案
解：(Ⅰ) ∵
的对称轴方程为
，∴
． ………… 2分
又
的图象过点（1，13），∴
，∴
．
∴
的解析式为
． ………………………………………… 4分
(Ⅱ) 由(Ⅰ)得：
……………………… 6分
结合图象可知：当
，
；
当
，
；
当
，
．……………………………… 9分
∴ 综上：
……………………………………… 10分
（Ⅲ）如果函数
的图象上存在符合要求的点，设为
，其中
为正整数，
为自然数，则
， ……………………………………… 11分
（法一）从而
， 即
．
注意到
是质数，且
，又
，
所以只有
， 解得：
．…………………………… 13分
因此，函数
的图象上存在符合要求的点，它的坐标为
．………… 14分
（法二）从而
的偶数，∴
的奇数
∴ 取
验证得，当
时符合
因此，函数
的图象上存在符合要求的点，它的坐标为
．………… 14分
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解析
略考点
据考高分专家说，试题“（本小题满分14分）已知二次函数的图象过.....”主要考查你对 [一次函数的性质与应用 ]考点的理解。 一次函数的性质与应用一次函数的定义和图像：
（1）定义：一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中正比例函数是一次函数的特殊情况。
（2）图象：一次函数的图像是一条直线，过（0，b），（
，0）两点，其中k叫做该直线的斜率，b叫做该直线在y轴上的截距。
（1）当k＞0时，y随x的增大而增大；
（2）当k＜0时，y随x的增大而减小。
（3）当b=0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当b≠0时，它既不是奇函数也不是偶函数。
（4）k的大小表示直线与x轴的倾斜程度
一次函数y=kx+b(k不等于零)的图像：
当k>0时，
若b=0，则图像过第一、三象限；
若b>0，则图像过第一、二、三象限；
若b<0，则图像过第一、三、四象限。
当k>0时，
若b=0，则图像过第二、四象限；
若b>0，则图像过第一、二、四象限；
若b<0，则图像过第二、三、四象限。
应用：应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
