设二次函数f(x)=mx2+nx+t的图像过原点,g(x)=ax3+bx−3(x>0),f(x), g(x)的导函数为,g¢(x),且="0,"

题文

设二次函数f(x)=mx²+nx+t的图像过原点,g(x)=ax³+bx−3(x>0),f(x), g(x)的导函数为

,g¢(x),且

="0,"

=−2,f(1)="g(1),"

=g¢(1).
(Ⅰ)求函数f(x),g(x)的解析式；
(Ⅱ)求F(x)=f(x)−g(x)的极小值；
(Ⅲ)是否存在实常数k和m,使得f(x)³kx+m和g(x)£kx+m成立?若存在,求出k和m的值；若不存在,说明理由. 题型：未知 难度：其他题型

答案

(Ⅰ)由已知得t=0,

=2mx+n,
则

="n=0,"

=−2m+n=−2,从而n="0," m=1,
∴f(x)=x². 
则

="2x, " g¢(x)=3ax²+b.
由f(1)="g(1),"

=g¢(1)得a+b−3=2,3a+b=2,解得a=−1,b=5,
∴g(x)=−x³+5x−3(x>0) ……4分
(Ⅱ)∵F(x)=f(x)−g(x)=x³+x²−5x+3(x>0),
求导数得F¢(x)=3x²+2x−5=(x−1)(3x+5)
∴F(x)在(0,1)单调递减,在(1,+¥)单调递增,从而F(x)的极小值为F(1)="0. " ……8分
(Ⅲ)因 f(x)与g(x)有一个公共点(1,1),而函数f(x)在点(1,1)的切线方程为y=2x−1.
下面验证

都成立即可.
由(x−1)²=x²−2x+1³0,得x²³2x−1,知f(x)³2x−1恒成立.
设h(x)=−x³+5x−3−(2x−1)= −x³+3x−2(x)>0,
求导数得h¢(x)=−3x²+3=−3(x+1)(x−1)(x>0),
∴h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+¥)上单调递减,所以h(x)=−x³+5x−3−(2x−1)的最大值为h(1)=0,
所以−x³+5x−3£2x−1,即g(x)£2x−1恒成立.
故存在这样的实常数k和m,且k=2,m=−1

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解析

略

考点

据考高分专家说，试题“设二次函数f(x)=mx2+nx+t的图.....”主要考查你对 [一次函数的性质与应用 ]考点的理解。 一次函数的性质与应用

一次函数的定义和图像：

（1）定义：一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中正比例函数是一次函数的特殊情况。
（2）图象：一次函数的图像是一条直线，过（0，b），（

，0）两点，其中k叫做该直线的斜率，b叫做该直线在y轴上的截距。

一次函数的性质：
（1）当k＞0时，y随x的增大而增大；
（2）当k＜0时，y随x的增大而减小。
（3）当b=0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当b≠0时，它既不是奇函数也不是偶函数。
（4）k的大小表示直线与x轴的倾斜程度

一次函数y=kx+b(k不等于零)的图像：

当k>0时，
若b=0，则图像过第一、三象限；
若b>0，则图像过第一、二、三象限；
若b<0，则图像过第一、三、四象限。

当k>0时，
若b=0，则图像过第二、四象限；
若b>0，则图像过第一、二、四象限；
若b<0，则图像过第二、三、四象限。

应用：应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。