题文
已知二次函数
及函数
，函数
在
处取得极值．
（Ⅰ）求
所满足的关系式；
（Ⅱ）是否存在实数
，使得对（Ⅰ）中任意的实数
，直线
与函数
在
上的图像恒有公共点？若存在，求出
的取值范围，若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）由已知得
，
，
依题意得：
，即
， ……………4分
代入得
要使
在
处有极值，则须
，即
，
所以所求
满足的关系式为
． ……………5分
（Ⅱ）由题意得方程
在
时总有解，所以
在
时总有解， ……………6分
设
，则
， ……………7分
①当
且
，
时，
，
在
时单调递减，
，
，
； …8分
②当
时，令
得：
，
时，
，
单调递减，
时，
，
单调递增，
，
，
若
，则
，
，
若
，则
，
； ………9分
③当
时，
，
在
时单调递增，
，
，
； ……………10分
设集合
，
，
，
，
所以要使直线
与函数
在
上的图像恒有公共点，则实数
的取值范围为：
，所以存在实数
满足题意，其取值范围为
．
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解析
略考点
据考高分专家说，试题“已知二次函数及函数，函数在处取得极值．（.....”主要考查你对 [一次函数的性质与应用 ]考点的理解。 一次函数的性质与应用一次函数的定义和图像：
（1）定义：一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中正比例函数是一次函数的特殊情况。
（2）图象：一次函数的图像是一条直线，过（0，b），（
，0）两点，其中k叫做该直线的斜率，b叫做该直线在y轴上的截距。
（1）当k＞0时，y随x的增大而增大；
（2）当k＜0时，y随x的增大而减小。
（3）当b=0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当b≠0时，它既不是奇函数也不是偶函数。
（4）k的大小表示直线与x轴的倾斜程度
一次函数y=kx+b(k不等于零)的图像：
当k>0时，
若b=0，则图像过第一、三象限；
若b>0，则图像过第一、二、三象限；
若b<0，则图像过第一、三、四象限。
当k>0时，
若b=0，则图像过第二、四象限；
若b>0，则图像过第一、二、四象限；
若b<0，则图像过第二、三、四象限。
应用：应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
