题文
（本小题满分14分）已知函数
．
（1）求函数
的最小值；
（2）证明：对任意
恒成立；
（3）对于函数
图象上的不同两点
，如果在函数
图象上存在点
（其中
）使得点
处的切线
，则称直线
存在“伴侣切线”．特别地，当
时，又称直线
存在 “中值伴侣切线”．试问：当
时，对于函数
图象上不同两点
、
，直线
是否存在“中值伴侣切线”？证明你的结论． 题型：未知 难度：其他题型
答案
解：（1）
；（2）见解析；（3）函数f(x)不存在“中值伴侣切线”
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解析
第一问中
第二问
令
，
结合导数来判定。
第三问中，当
时，
，
，假设函数
存在“中值伴侣切线”.
设
,
是曲线
上的不同两点，且
则
，
. 故直线AB的斜率：
曲线在点
处的切线斜率：
=
依题意可得。
解：（1）
…………1分
……………………………………2分
……………………………4分
（2）
令
，………………6分
因为
,显然
，所以
在
上递增,
显然有
恒成立.（当且仅当x=1时等号成立），即证． ………8分
（3）当
时，
，
，假设函数
存在“中值伴侣切线”.
设
,
是曲线
上的不同两点，且
则
，
. 故直线AB的斜率：
…………………………………………………………10分
曲线在点
处的切线斜率：
=
…………………………………………11分
依题意得：
化简可得：
， 即
=
. …………12分
设
(
)，上式化为
,由（2）知
时，
恒成立.
所以在
内不存在t,使得
成立.
综上所述，假设不成立.所以，函数f(x)不存在“中值伴侣切线” ………………14分
考点
据考高分专家说，试题“（本小题满分14分）已知函数．（1）求函.....”主要考查你对 [一次函数的性质与应用 ]考点的理解。 一次函数的性质与应用一次函数的定义和图像：
（1）定义：一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中正比例函数是一次函数的特殊情况。
（2）图象：一次函数的图像是一条直线，过（0，b），（
，0）两点，其中k叫做该直线的斜率，b叫做该直线在y轴上的截距。
（1）当k＞0时，y随x的增大而增大；
（2）当k＜0时，y随x的增大而减小。
（3）当b=0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当b≠0时，它既不是奇函数也不是偶函数。
（4）k的大小表示直线与x轴的倾斜程度
一次函数y=kx+b(k不等于零)的图像：
当k>0时，
若b=0，则图像过第一、三象限；
若b>0，则图像过第一、二、三象限；
若b<0，则图像过第一、三、四象限。
当k>0时，
若b=0，则图像过第二、四象限；
若b>0，则图像过第一、二、四象限；
若b<0，则图像过第二、三、四象限。
应用：应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
