设函数f(x)＝x3－ax2＋3x＋5(a＞0)．(1)已知f(x)在R上是单调函数，求a的取值范围；(2)若a＝2，且当x∈[1,2]时，f

题文

（本题满分12分）设函数f(x)＝x³－

ax²＋3x＋5(a＞0)．
(1)已知f(x)在R上是单调函数，求a的取值范围；
(2)若a＝2，且当x∈[1,2]时，f(x)≤m恒成立，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1) 0＜a≤6 ；(2) [15，＋∞)．

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解析

(1)f′(x)＝3x²－ax＋3，              2分
其判别式Δ＝a²－36.
当0＜a≤6时，f′(x)≥0恒成立，                4分
此时f(x)在R上为增函数．                       6分
(2)a＝2时，f′(x)＝3x²－2x＋3＞0恒成立，
因此f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，                8分
从而f(x)在[1,2]上递增，则f(x)_max＝f(2)＝15，        10分
要使f(x)≤m在x∈[1,2]上恒成立，只需15≤m，
解得m∈[15，＋∞)．
故m的取值范围是[15，＋∞)．                      12分
点评：解决恒成立问题常用变量分离法，变量分离法主要通过两个基本思想解决恒成立问题， 思路1：

在

上恒成立

；思路2:

在

上恒成立

。

考点

据考高分专家说，试题“（本题满分12分）设函数f(x)＝x3－.....”主要考查你对 [一次函数的性质与应用 ]考点的理解。 一次函数的性质与应用

一次函数的定义和图像：

（1）定义：一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中正比例函数是一次函数的特殊情况。
（2）图象：一次函数的图像是一条直线，过（0，b），（

，0）两点，其中k叫做该直线的斜率，b叫做该直线在y轴上的截距。

一次函数的性质：
（1）当k＞0时，y随x的增大而增大；
（2）当k＜0时，y随x的增大而减小。
（3）当b=0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当b≠0时，它既不是奇函数也不是偶函数。
（4）k的大小表示直线与x轴的倾斜程度

一次函数y=kx+b(k不等于零)的图像：

当k>0时，
若b=0，则图像过第一、三象限；
若b>0，则图像过第一、二、三象限；
若b<0，则图像过第一、三、四象限。

当k>0时，
若b=0，则图像过第二、四象限；
若b>0，则图像过第一、二、四象限；
若b<0，则图像过第二、三、四象限。

应用：应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。