已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1,f(－1)＝－1，且f(x)的最大值为8，求二次函数f(x)的解析式．

题文

已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1,f(－1)＝－1，且f(x)的最大值为8，求二次函数f(x)的解析式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

f(x)＝－4x²＋4x＋7

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解析

(解法1：利用一般式)设f(x)＝ax²＋bx＋c(a≠0)，

解得


∴所求二次函数为f(x)＝－4x²＋4x＋7.
(解法2：利用顶点式)设f(x)＝a(x－m)²＋n，∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线对称轴为x＝

＝

，即m＝

；又根据题意，函数最大值y_max＝8，
∴n＝8，∴f(x)＝a

²＋8.∵f(2)＝－1，∴a

＋8＝－1，解得a＝－4.
∴f(x)＝－4

²＋8＝－4x²＋4x＋7.
(解法3：利用两根式)由题意知f(x)＋1＝0的两根为x₁＝2，x₂＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax²－ax－2a－1.又函数有最大值y_max＝8，即

＝8，解得a＝－4或a＝0(舍)，∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x²－(－4)x－2×(－4)－1＝－4x²＋4x＋7

考点

据考高分专家说，试题“已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1,.....”主要考查你对 [一次函数的性质与应用 ]考点的理解。 一次函数的性质与应用

一次函数的定义和图像：

（1）定义：一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中正比例函数是一次函数的特殊情况。
（2）图象：一次函数的图像是一条直线，过（0，b），（

，0）两点，其中k叫做该直线的斜率，b叫做该直线在y轴上的截距。

一次函数的性质：
（1）当k＞0时，y随x的增大而增大；
（2）当k＜0时，y随x的增大而减小。
（3）当b=0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当b≠0时，它既不是奇函数也不是偶函数。
（4）k的大小表示直线与x轴的倾斜程度

一次函数y=kx+b(k不等于零)的图像：

当k>0时，
若b=0，则图像过第一、三象限；
若b>0，则图像过第一、二、三象限；
若b<0，则图像过第一、三、四象限。

当k>0时，
若b=0，则图像过第二、四象限；
若b>0，则图像过第一、二、四象限；
若b<0，则图像过第二、三、四象限。

应用：应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。