(2014·孝感模拟)已知定义在区间[0,2]上的两个函数f(x)和g(x),其中f(x)=-x2+2ax+1+a2,g(x)=x-+.(1)求函数f(x)的最

题文

(2014·孝感模拟)已知定义在区间[0,2]上的两个函数f(x)和g(x),其中f(x)=-x²+2ax+1+a²,g(x)=x-

+

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(1)求函数f(x)的最小值.
(2)对于∀x₁,x₂∈[0,2],f(x₁)>g(x₂)恒成立,求实数a的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f(x)_min=


（2）a∈(-∞,-5)∪(1,+∞)

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解析

(1)函数f(x)的对称轴是x=a,
当a≤1时,f(x)_min=f(2)=a²+4a-3,
当a>1时,f(x)_min=f(0)=1+a²,
所以f(x)_min=


(2)令

=t(t∈[0,

]),则x=2-t²,
所以g(x)=h(t)=-t²+t+

,
因为对称轴t=

∈

,所以g(x)_max=h(t)_max=2,
由题意,要使对于∀x₁,x₂∈[0,2],f(x₁)>g(x₂)恒成立,只要f(x)_min>g(x)_max即可,
所以当a≤1时,f(x)_min=a²+4a-3>2,
解得：a<-5,
当a>1时,f(x)_min=1+a²>2,解得：a>1,
综上所述,a∈(-∞,-5)∪(1,+∞).

考点

据考高分专家说，试题“(2014·孝感模拟)已知定义在区间[0.....”主要考查你对 [一次函数的性质与应用 ]考点的理解。 一次函数的性质与应用

一次函数的定义和图像：

（1）定义：一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中正比例函数是一次函数的特殊情况。
（2）图象：一次函数的图像是一条直线，过（0，b），（

，0）两点，其中k叫做该直线的斜率，b叫做该直线在y轴上的截距。

一次函数的性质：
（1）当k＞0时，y随x的增大而增大；
（2）当k＜0时，y随x的增大而减小。
（3）当b=0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当b≠0时，它既不是奇函数也不是偶函数。
（4）k的大小表示直线与x轴的倾斜程度

一次函数y=kx+b(k不等于零)的图像：

当k>0时，
若b=0，则图像过第一、三象限；
若b>0，则图像过第一、二、三象限；
若b<0，则图像过第一、三、四象限。

当k>0时，
若b=0，则图像过第二、四象限；
若b>0，则图像过第一、二、四象限；
若b<0，则图像过第二、三、四象限。

应用：应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。