已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)且满足f(－1)＝0，对任意实数x，恒有f(x)－x≥0，并且当x∈(0,2)时，f(x)≤.(1)求f(1)

题文

已知二次函数f(x)＝ax²＋bx＋c (a≠0)且满足f(－1)＝0，对任意实数x，恒有f(x)－x≥0，并且当x∈(0,2)时，f(x)≤

.
(1)求f(1)的值；
(2)证明：a>0，c>0；
(3)当x∈[－1,1]时，函数g(x)＝f(x)－mx (x∈R)是单调函数，求证：m≤0或m≥1. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f(1)＝1.   （2）见解析   （3）见解析

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解析

(1)解 ∵对x∈R，f(x)－x≥0恒成立，
当x＝1时，f(1)≥1，
又∵1∈(0,2)，由已知得f(1)≤

＝1，
∴1≤f(1)≤1.∴f(1)＝1.
(2)证明 ∵f(1)＝1，∴a＋b＋c＝1.
又∵a－b＋c＝0，∴b＝

.∴a＋c＝

.
∵f(x)－x≥0对x∈R恒成立，
∴ax²－

x＋c≥0对x∈R恒成立．
∴

， ∴

∴c>0，故a>0，c>0.
(3)证明 ∵a＋c＝

，ac≥

，
由a>0，c>0及a＋c≥2

，得ac≤

，
∴ac＝

，当且仅当a＝c＝

时，取“＝”．
∴f(x)＝

x²＋

x＋

.
∴g(x)＝f(x)－mx＝

x²＋

x＋


＝

[x²＋(2－4m)x＋1]．
∵g(x)在[－1,1]上是单调函数，
∴2m－1≤－1或2m－1≥1.∴m≤0或m≥1.

考点

据考高分专家说，试题“已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c .....”主要考查你对 [一次函数的性质与应用 ]考点的理解。 一次函数的性质与应用

一次函数的定义和图像：

（1）定义：一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中正比例函数是一次函数的特殊情况。
（2）图象：一次函数的图像是一条直线，过（0，b），（

，0）两点，其中k叫做该直线的斜率，b叫做该直线在y轴上的截距。

一次函数的性质：
（1）当k＞0时，y随x的增大而增大；
（2）当k＜0时，y随x的增大而减小。
（3）当b=0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当b≠0时，它既不是奇函数也不是偶函数。
（4）k的大小表示直线与x轴的倾斜程度

一次函数y=kx+b(k不等于零)的图像：

当k>0时，
若b=0，则图像过第一、三象限；
若b>0，则图像过第一、二、三象限；
若b<0，则图像过第一、三、四象限。

当k>0时，
若b=0，则图像过第二、四象限；
若b>0，则图像过第一、二、四象限；
若b<0，则图像过第二、三、四象限。

应用：应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。