题文
在自然条件下，某草原上野兔第n年年初的数量记为xn,该年的增长量yn和 xn与
的乘积成正比，比例系数为
，其中m是与n无关的常数，且x1
;
(2)用 xn表示xn+1;并证明草原上的野兔总数量恒小于m.
答案
（1）详见解析；（2）
，证明用数学归纳法，过程详见解析．
点击查看一次函数的性质与应用知识点讲解,巩固学习
解析
（1）由已知可得yn是xn的一个二次函数，利用配方法，注意到
就可证明
；（2）由已知有该年的增长量
，所以第n+1年年初的的数量xn+1=xn+yn,代入即可用 xn表示xn+1；证明草原上的野兔总数量恒小于m，即证对一切非零自然数n，都有xn
时，命题成立，则对n=k+1时，由于
是xk的一个二次函数，结合二次函数的性质，可证
成立，从而有对一切正整数n，
，即是草原上的野兔总数量恒小于m.
试题解析：（1）由题意知
，配方得：
∵
∴当且仅当
时，
取得最大值
，即
（5分）
（2）
（8分）
用数列归纳法证明：
当n=1时，由题意知
，故命题成立
假设当
时，命题成立
是xk的一个二次函数
，
有对称轴
，开口向下，由
，则
，于是在
上均有
=m
取
，即知
，∴当
时，命题成立，综上知，对一切正整数n，
这就是说该草原上的野兔数量不可能无限增长 （13分）
考点
据考高分专家说，试题“在自然条件下，某草原上野兔第n年年初的数.....”主要考查你对 [一次函数的性质与应用 ]考点的理解。 一次函数的性质与应用一次函数的定义和图像：
（1）定义：一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中正比例函数是一次函数的特殊情况。
（2）图象：一次函数的图像是一条直线，过（0，b），（
，0）两点，其中k叫做该直线的斜率，b叫做该直线在y轴上的截距。
（1）当k＞0时，y随x的增大而增大；
（2）当k＜0时，y随x的增大而减小。
（3）当b=0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当b≠0时，它既不是奇函数也不是偶函数。
（4）k的大小表示直线与x轴的倾斜程度
一次函数y=kx+b(k不等于零)的图像：
当k>0时，
若b=0，则图像过第一、三象限；
若b>0，则图像过第一、二、三象限；
若b<0，则图像过第一、三、四象限。
当k>0时，
若b=0，则图像过第二、四象限；
若b>0，则图像过第一、二、四象限；
若b<0，则图像过第二、三、四象限。
应用：应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
