若函数y=为奇函数，(1)确定a的值；(2)求函数的定义域；(3)求函数的值域；(4)讨论函数的单调性.

题文

 若函数y=

为奇函数，
(1)确定a的值；
(2)求函数的定义域；
(3)求函数的值域；
(4)讨论函数的单调性. 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1)由奇函数的定义，可得f(-x)+f(x)=0，即a-

=0，
∴2a+

=0.
∴a=-

.
(2)∵y=-

-

，
∴2^x-1≠0.
∴函数y=-

-

的定义域为{x|x≠0}.
(3)方法一：(逐步求解法)
∵x≠0，
∴2^x-1＞-1.
∵2^x-1≠0，
∴0＞2^x-1＞-1或2^x-1＞0.
∴-

-

>

,-

-

<-

，
即函数的值域为{y|y＞

或y＜-

}.
方法二：(利用有界性)由y=-

-

≠-

，可得2^x=

.
∵2^x＞0，∴

＞0.可得y＞

或y＜-

，
即函数的值域为{y|y＞

或y＜-

}.
(4)当x＞0时，设0＜x₁＜x₂，则y₁-y₂=

.
∵0＜x₁＜x₂，
∴1＜

＜

.
∴

-

＜0，

-1＞0，

-1＞0.
∴y₁-y₂＜0.
因此y=-

-

在(0，+∞)上递增.
同样可以得出y=-

-

在(-∞，0)上递增.

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解析

先将函数

化简为y=a-

.

考点

据考高分专家说，试题“若函数y=为奇函数，(1)确定a的值；(.....”主要考查你对 [指数函数的解析式及定义（定义域、值域） ]考点的理解。 指数函数的解析式及定义（定义域、值域）

指数函数的定义：

一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）。

指数函数的解析式：

y=a^x（a＞0，且a≠1）

 理解指数函数定义，需注意的几个问题：

①因为a>0，x是任意一个实数时，a^x是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．
②规定底数a大于零且不等于1的理由：



如果a<0，比如y=(-4)^x，这时对于



在实数范围内函数值不存在．
如果a=1，y=1^x=1是一个常量，对它就没有研究的必要，
为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1．
③像

等函数都不是指数函数，要注意区分。