已知α、β∈，且α+β＞π2，f(x)=(cosαsinβ)x+(cosβsinα)x．求证：对于x＞0，有f＜2．

题文

已知α、β∈（0，π2），且α+β＞π2，f(x)=(cosαsinβ)x+(cosβsinα)x．
求证：对于x＞0，有f（x）＜2． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：∵α+β＞π2，∴α＞π2-β；∵α、β∈（0，π2），π2-β∈(0，π2)；
因为y=sinx，在(0，π2)上为增函数，
y=cosx在(0，π2)上为减函数，
sinα＞sin（π2-β）=cosβ，cosα＜cos(π2-β)=sinβ，
又sinα＞0，sinβ＞0，∴0＜cosαsinβ ＜ 1，0＜cosβsinα ＜1，
∵y=a^x，（0＜a＜1）在R上为减函数，且x＞0，∴(cosαsinβ)x＜ 1，(cosβsinα)x＜1，
从而f(x)=(cosαsinβ)x+(cosβsinα)x＜2

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解析

π2

考点

据考高分专家说，试题“已知α、β∈（0，π2），且α+β＞π2.....”主要考查你对 [指数与指数幂的运算（整数、有理、无理） ]考点的理解。 指数与指数幂的运算（整数、有理、无理）

n次方根的定义：

一般地，如果xⁿ=a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*。

分数指数幂的意义：

（1）

；
（2）

；
（3）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。

n次方根的性质：

（1）0的n次方根是0，即

＝0（n＞1，n∈N*）；
（2）

=a（n∈N*）；
（3）当n为奇数时，

=a；当n为偶数时，

＝|a|。

幂的运算性质：

（1）

；
（2）

；
（3）

；
注意：一般地，无理数指数幂

（a＞0，α是无理数）是一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理指数幂都适用。