若x1，x2∈R，x1≠x2，则下列性质对函数f=2x成立的是______．①f=f•f②

题文

若x₁，x₂∈R，x₁≠x₂，则下列性质对函数f（x）=2^x成立的是______．（把满足条件的序号全部写在横线上）
①f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂）②f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）
③[f（x₁）-f（x₂）]•（x₁-x₂）＞0④f(x1)+f(x2)＞2f(x1+x22)． 题型：未知 难度：其他题型

答案

①f（x₁+x₂）=2x1+x2=2x1×2x2=f（x₁）•f（x₂）①对
②f（x₁•x₂）=2x1•x2，f（x₁）+f（x₂）=2x1+2x2，f（x₁•x₂）≠f（x₁）+f（x₂）②错
③f（x）在定义域R上是增函数，对于任意的两不等实数x₁，x₂，若x_1＞x₂ 则f（x₁）_＞f（x₂），若x_1＜x₂ 则f（x₁）＜f（x₂），总之必有[f（x₁）-f（x₂）]•（x₁-x₂）＞0．③对
④如图A，B为函数图象上任意不同两点，M为线段AB的中点，过M且与x轴垂直的直线与图象交与点P．各点坐标如图所示．



由图可知f(x1)+f(x2)2＞f(x1+x22)，两边同时乘以2，即知④对．
故答案为：①③④．

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解析

f(x1)+f(x2)2

考点

据考高分专家说，试题“若x1，x2∈R，x1≠x2，则下列性质.....”主要考查你对 [指数与指数幂的运算（整数、有理、无理） ]考点的理解。 指数与指数幂的运算（整数、有理、无理）

n次方根的定义：

一般地，如果xⁿ=a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*。

分数指数幂的意义：

（1）

；
（2）

；
（3）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。

n次方根的性质：

（1）0的n次方根是0，即

＝0（n＞1，n∈N*）；
（2）

=a（n∈N*）；
（3）当n为奇数时，

=a；当n为偶数时，

＝|a|。

幂的运算性质：

（1）

；
（2）

；
（3）

；
注意：一般地，无理数指数幂

（a＞0，α是无理数）是一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理指数幂都适用。