定义在R上的函数f满足f=f+f+2xy，f=ff，且当x≠0时，f≠0．

题文

定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，f（xy）=f（x）f（y） （x，y∈R），且当x≠0时，f（x）≠0．
（1）求证：f（0）=0
（2）证明：f（x）是偶函数．并求f（x）的表达式
（3）若f（x）=alnx有两个不同实数解，求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）∵f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，令x=y=0，
∴f（0）=2f（0） ∴f（0）=0；
（2）令x=y=1代入f（xy）=f（x）f（y）
∴f（1）=f（1）2，
∵当x≠0时，f（x）≠0，
∴f（1）=1，
令y=x代入f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，f（xy）=f（x）f（y） （x，y∈R），
f（2x）=2f（x）+2x²，f（2x）=f（2）f（x），
∴f（2）f（x）=2f（x）+2x²， ∵f（2）=2f（1）+2=4，
∴f（x）=x²，f（﹣x）=f（x）
∴f（x）为偶函数；
（3）∵f（x）=alnx有两个不同实数解，
∴令h（x）=f（x）﹣alnx=x²﹣xlnx，
∴h'（x）=2x﹣

，令h'（x）=0，解得x=±

，
当﹣

＜x＜

时，h'（x）＜0，f（x）单调减函数；
当x≥

或x≤﹣

时，h'（x）＞0，f（x）单调增函数；
如下图：要求h（x）与x轴有两个交点，可得h（﹣

）=0，
∴a=

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“定义在R上的函数f（x）满足.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。