题文
设函数y=f（x）对于x＞0有意义，且满足条件：f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y），f（x）在（0，+∞）上为增函数，①证明：f（1）=0；
②求f（4）的值；
③如果f（x）+f（x-3）≤2，求x的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
①令x=1代入题中条件，得f（y）=f（1）+f（y） 得f（1）=0；②令x=y=2代入题中条件，
得f（2×2）=f（2）+f（2），得f（4）=2f（2）
∵f（2）=1，∴f（4）=2f（2）=2
③∵f（x）+f（x-3）≤2，
∴f（x（x-3））≤f（4）
结合f（x）在（0，+∞）上为增函数，可得x(x-3)≤4x＞0x-3＞0
解之得 3＜x≤4，实数x的取值范围为（3，4]．
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解析
x(x-3)≤4x＞0x-3＞0考点
据考高分专家说，试题“设函数y=f（x）对于x＞0有意义，且满.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数分段函数：
1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。
抽象函数：
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。
知识点拨：
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。
