设函数f的定义域为R，当x＜0时，f＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f=ff求f，判断并证明函数f的单调性

题文

设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有
f（x+y）=f（x）f（y）
（Ⅰ）求f（0），判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）数列{a_n}满足a₁=f（0），且f(an+1)=1f(-2-an)(n∈N*)
①求{a_n}通项公式．
②当a＞1时，不等式1an+1+1an+2+…+1a2n＞1235(loga+1x-logax+1)对不小于2的正整数恒成立，求x的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）x，y∈R，f（x+y）=f（x）•f（y），x＜0时，f（x）＞1
令x=-1，y=0则f（-1）=f（-1）f（0）∵f（-1）＞1
∴f（0）=1
若x＞0，则f（x-x）=f（0）=f（x）f（-x）
故f(x)=1f(-x)∈(0，1)
故x∈Rf（x）＞0
任取x₁＜x₂f（x₂）=f（x₁+x₂-x₁）=f（x₁）f（x₂-x₁）
∵x₂-x₁＞0∴0＜f（x₂-x₁）＜1
∴f（x₂）＜f（x₁）
故f（x）在R上减函数
（Ⅱ）①a1=f(0)=1，f(an+1)=1f(-2-an)=f(2+an)
由f（x）单调性知，a_n+1=a_n+2故{a_n}等差数列
∴a_n=2n-1
②bn=1an+1+1an+2++1a2n，则bn+1=1an+2+1an+3++1a2n+2bn+1-bn=1a2n+1+1a2n+2-1an+1=14n+1+14n+3-12n+1
=1(4n+1)(4n+3)(2n+1)＞0，{bn}是递增数列
当n≥2时，(bn)min=b2=1a3+1a4=15+17=1235
∴1235＞1235(loga+1x-logax+1)
即log_a+1x-log_ax+1＜1⇒log_a+1x＜log_ax
而a＞1，
∴x＞1
故x的取值范围：（1，+∞）

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解析

1f(-x)

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时，.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。