函数f对任意x∈R都有f+f=1求f的值；数列{an}满足：an=f+f

题文

函数f（x）对任意x∈R都有f（x）+f（1-x）=1
（1）求f（12）的值；
（2）数列{a_n}满足：a_n=f（0）+f（1n)+f(2n)+L+f（n-1n）+f（1），求a_n；
（3）令b_n=22an-1，T_n=b₁²+b₂²+L+b_n²，S_n=8-4n，试比较T_n与S_n的大小、 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令x=12，
则有f(12)+f(1-12)=f(12)+f(12)=1．∴f(12)=12．
（2）令x=1n，得f(1n)+f(1-1n)=1．即f(1n)+f(n-1n)=1．
因为an=f(0)+f(1n)+f(2n)++f(n-1n)+f(1)，
所以an=f(1)+f(n-1n)+f(n-2n)++f(1n)+f(0)．
两式相加得：2an=[f(0)+f(1)]+[f(1n)+f(n-1n)]++[f(1)+f(0)]=n+1，∴an=n+12，n∈N*．
（3）bn=22an-1=2n，n=1时，T_n=S_n；n≥2时，∴Tn=b12+b22++bn2=4(1+122+132++1n2)≤4[1+11×2+12×3++1n(n-1)]
=4[1+(1-12)+(12-13)++(1n-1-1n)]
=4(2-1n)=8-4n=Sn
∴T_n≤S_n．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“函数f（x）对任意x∈R都有f（x）+f.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。