设函数y=f对定义域内任意的x1，x2恒有f=f+f求证：f=f=0；求证：y=

题文

设函数y=f（x）（x∈R且x≠0）对定义域内任意的x₁，x₂恒有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）
（1）求证：f（1）=f（-1）=0；
（2）求证：y=f（x）是偶函数；
（3）若f（x）为（0，+∞）上的增函数，解不等式f(x)+f(x-12)≤0． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令x₁=x₂=1，则f（1）=f（1）+f（1）
∴f（1）=0
令x₁=x₂=-1，则f（1）=f（-1）+f（-1）∴f（-1）=0
（2）x∈{x|x∈R且x≠0}关于原点对称，
令x₁=x，x₂=-1
∴f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x）
∴f（x）=f（-x）
所以f（x）在{x|x∈R且x≠0}上是偶函数．
（3）不等式f(x)+f(x-12)≤0．
即f[x(x-12)]≤f(1)
∵f（x）在{x|x∈R且x≠0}上是偶函数
且f（x）为（0，+∞）上的增函数，
∴|x(x-12)|≤1，
解得：1-174≤x＜0或12＜x≤1+174．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“设函数y=f（x）（x∈R且x≠0）对定.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。