设f是定义在R上的函数，对任意x，y∈R，恒有f=f•f，当x＞0时，有0＜f＜1．求证：f=1，且当x＜0时，f

题文

设f（x）是定义在R上的函数，对任意x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）•f（y），当x＞0时，有0＜f（x）＜1．
（1） 求证：f（0）=1，且当x＜0时，f（x）＞1；
（2） 证明：f（x）在R上单调递减． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：（1）对任意x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）•f（y），
令x=1，y=0 可得 f（0+1）=f（0）．f（1）
因为x＞0时，有0＜f（x）＜1，所以f（1）＞0
所以 f（0）=1
当x＜0时，-x＞0，根据已知条件可得1＞f（-x）＞0，而f（0）=f（x-x）=f（x）f（-x）=1
f（x）=1f(-x)＞1
（2）设x₁＜x₂则x₁-x₂＜0
根据（1）可知 f（x₁-x₂）＞1
因为f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]=f（x₁-x₂）•f（x₂）＞f（x₂）
所以函数是单调递减

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解析

1f(-x)

考点

据考高分专家说，试题“设f（x）是定义在R上的函数，对任意x，.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。