设函数y=f是定义在R上的增函数，且f≠0，对于任意x1，x2∈R，都有f=f•f求证：f＞0；若f

题文

设函数y=f（x）是定义在R上的增函数，且f（x）≠0，对于任意x₁，x₂∈R，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂）
（1）求证：f（x）＞0；
（2）若f（1）=2，解不等式f（3x）＞4f（x） 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：令x1=x2=x2，
则f(x)=f(x2)•f(x2)=f2(x2)，
∵f(x2)≠0，
∴f2(x2)＞0，则f（x）＞0．
（2）∵f（1）=2，
∴2f（x）=f（1）•f（x）=f（1+x），4f（x）=2•2f（x）=f（1）•f（x+1）=f（x+2）
∴f（3x）＞4f（x）可以变为f（3x）＞f（2+x）
又f（x）在定义域R上是增函数，
∴3x＞2+x
∴x＞1，
故不等式f（3x）＞4f（x）的解集为{x|x＞1}

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解析

x2

考点

据考高分专家说，试题“设函数y=f（x）是定义在R上的增函数，.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。