题文
设a∈R，函数f（x）=-1x+a，x＜0x(x-a)-1，x＞0（Ⅰ）当a=2时，试确定函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任何x∈R，且x≠0，都有f（x）＞x-1，求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）当x＜0时，f(x)=-1x+2，因为f′(x)=1x2＞0，所以f（x）在（-∞，0）上为增函数；
当x＞0时，f(x)=x(x-2)-1，f′(x)=32x-1x，由f′（x）＞0，解得x＞23，由f′（x）＜0，解得0＜x＜23，
所以f（x）在(23，+∞)上为增函数，在(0，23)上为减函数．
综上，f（x）增区间为（-∞，0）和(23，+∞)，减区间为(0，23)．
（Ⅱ）当x＜0时，由f（x）＞x-1，得-1x+a＞x-1，即a＞1x+x-1，
设g(x)=1x+x-1，
所以g(x)=-[(-1x)+(-x)]-1≤-2(-x)•(-1x)-1=-3（当且仅当x=-1时取等号），
所以当x=-1时，g（x）有最大值-3，
因为对任何x＜0，不等式a＞1x+x-1恒成立，所以a＞-3；
当x＞0时，由f（x）＞x-1，得x(x-a)-1＞x-1，即a＜x-x，
设h(x)=x-x，则h(x)=x-x=(x-12)2-14，
所以当x=12，即x=14时，h（x）有最小值-14，
因为对任何x＞0，不等式a＜x-x恒成立，所以a＜-14．
综上，实数a的取值范围为-3＜a＜-14．
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解析
1x考点
据考高分专家说，试题“设a∈R，函数f（x）=-1x+a，x＜.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数分段函数：
1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。
抽象函数：
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。
知识点拨：
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。
