已知函数f在R上有定义，对任何实数a＞0和任何实数x，都有f=af证明f=0；证明f(x)=kxx≥0hxx＜0其中k和h

题文

已知函数f（x）在R上有定义，对任何实数a＞0和任何实数x，都有f（ax）=af（x）
（Ⅰ）证明f（0）=0；
（Ⅱ）证明f(x)=kxx≥0hxx＜0其中k和h均为常数；
（Ⅲ）当（Ⅱ）中的k＞0时，设g（x）=1f(x)+f（x）（x＞0），讨论g（x）在（0，+∞）内的单调性并求极值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明（Ⅰ）令x=0，则f（0）=af（0），
∵a＞0，
∴f（0）=0．
（Ⅱ）①令x=a，
∵a＞0，
∴x＞0，则f（x²）=xf（x）．
假设x≥0时，f（x）=kx（k∈R），则f（x²）=kx²，而xf（x）=x•kx=kx²，
∴f（x²）=xf（x），即f（x）=kx成立．
②令x=-a，
∵a＞0，
∴x＜0，f（-x²）=-xf（x）
假设x＜0时，f（x）=hx（h∈R），则f（-x²）=-hx²，而-xf（x）=-x•hx=-hx²，
∴f（-x²）=-xf（x），即f（x）=hx成立．
∴f(x)=kx，x≥0hx，x＜0成立．
（Ⅲ）当x＞0时，g(x)=1f(x)+f(x)=1kx+kx，g′(x)=-1kx2+k=x2-1kx2
令g'（x）=0，得x=1或x=-1；
当x∈（0，1）时，g'（x）＜0，∴g（x）是单调递减函数；
当x∈[1，+∞）时，g'（x）＞0，∴g（x）是单调递增函数；
所以当x=1时，函数g（x）在（0，+∞）内取得极小值，极小值为g(1)=1k+k

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解析

kx，x≥0hx，x＜0

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）在R上有定义，对任何实数.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。