函数f满足：定义域是；当x＞1时，f＜2；对任意x，y∈，总有f=f+f-2．回答下面

题文

函数f（x）满足：（1）定义域是（0，+∞）；
（2）当x＞1时，f（x）＜2；
（3）对任意x，y∈（0，+∞），总有f（xy）=f（x）+f（y）-2．
回答下面的问题
（1）求出f（1）的值；
（2）写出一个满足上述条件的具体函数；
（3）判断函数f（x）的单调性，并用单调性的定义证明你的结论． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意对任意x，y∈（0，+∞），总有f（xy）=f（x）+f（y）-2．
令x=y=1，可得f（1）=2f（1）-2
∴f（1）=2
（2）f（x）=2+log_ax，其中a可以取（0，1）内的任意一个实数；
（3）f（x）在（0，+∞）单调递减
事实上，设0＜x₁＜x₂，则 x2x1＞1
由已知x＞1时，f（x）＜2可得，f(x2x1)＜2
∴f(x2)=f(x2x1•x1)=f(x2x1)+f(x1)-2＜2+f（x₁）-2=f（x₁）．
即f（x₂）＜f（x₁）
∴函数f（x）在（0，+∞）单调递减．

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解析

x2x1

考点

据考高分专家说，试题“函数f（x）满足：（1）定义域是（0，+.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。