题文
设函数f（x）=cos2x+asinx-a4-12．（1）当 0≤x≤π2时，用a表示f（x）的最大值M（a）；
（2）当M（a）=2时，求a的值，并对此a值求f（x）的最小值；
（3）问a取何值时，方程f（x）=（1+a）sinx在[0，2π）上有两解？ 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）f（x）=-sin2x+asinx+1-a4-12，∵0≤x≤π2
∴0≤sinx≤1
令sinx=t，则f（t）=-t2+at+2-a4，t∈[0，1]
∴M（a）=3a4-12(a≥2)12-a4+a24(0＜a≤2)12-a4(a≤0)．
（2）当M（a）=2时，
3a4-12=2⇒a=103；12-a4+a24=2⇒a=3或a=-2（舍）；
12-a4=2⇒a=-6．
∴a=103或a=-6．
①当a=-6时，f（x）min=-5；
②当a=103时，f（x）min=-13．
（3）方程f（x）=（1+a）sinx
即-sin2x+asinx+1-a4-12=（1+a）sinx，
即2-a4=sin2x+sinx，x∈[0，2π）
∵sin2x+sinx∈[-14，2]，
∵方程f（x）=（1+a）sinx在[0，2π）上有两解．
∴2-a4∈（0，2）∪{-14}，
∴-6＜a＜2或a=3．
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解析
a4考点
据考高分专家说，试题“设函数f（x）=cos2x+asinx-.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数分段函数：
1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。
抽象函数：
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。
知识点拨：
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。
