已知函数f满足：①对任意x∈，恒有f=2f成立；②当x∈=2-x．若f=f，则满足条件的

题文

已知函数f（x）满足：①对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；②当x∈（1，2]时，f（x）=2-x．若f（a）=f（2020），则满足条件的最小的正实数a是 ． 题型：未知 难度：其他题型

答案

取x∈（2^m，2^m+1），则 x2m∈（1，2]；f（ x2m）=2-x2m，从而
f（x）=2f（ x2）=…=2^mf（ x2m）=2^m+1-x，其中，m=0，1，2，…
f（2020）=2¹⁰f（20201024）=2¹¹-2020=28=f（a）
设a∈（2^m，2^m+1）则f（a）=2^m+1-a=28
∴a=2^m+1-28∈（2^m，2^m+1）
即m≥5即a≥36
∴满足条件的最小的正实数a是36
故答案为：36

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解析

x2m

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）满足：①对任意x∈（0，.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。