已知f1=|3x-1|，f2=|a•3x-9|，x∈R，且f(x)=f1(x)f1(x)≤f2(x)f2(x)f1(x)＞f2(x)．（Ⅰ

题文

已知f₁（x）=|3^x-1|，f₂（x）=|a•3^x-9|（a＞0），x∈R，且f(x)=f1(x)     f1(x)≤f2(x)   f2(x)     f1(x)＞f2(x)．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）当2≤a＜9时，设f（x）=f₂（x）所对应的自变量取值区间的长度为l（闭区间[m，n]的长度定义为n-m），试求l的最大值；
（Ⅲ）是否存在这样的a，使得当x∈[2，+∞）时，f（x）=f₂（x）？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）当a=1时，f₂（x）=|3^x-9|．
因为当x∈（0，log₃5）时，f₁（x）=3^x-1，f₂（x）=9-3^x，
且f₁（x）-f₂（x）=2•3^x-10＜2•3^log₃5-10=2•5-10=0，
所以当x∈（0，log₃5）时，f（x）=3^x-1，且1∈（0，log₃5）（3分）
由于f'（x）=3^xln3，所以k=f'（1）=3ln3，又f（1）=2，
故所求切线方程为y-2=（3ln3）（x-1），
即（3ln3）x-y+2-3ln3=0（5分）
（Ⅱ）因为2≤a＜9，所以0＜log39a≤log392，则
①当x≥log39a时，因为a•3^x-9≥0，3^x-1＞0，
所以由f₂（x）-f₁（x）=（a•3^x-9）-（3^x-1）=（a-1）3^x-8≤0，解得x≤log38a-1，
从而当log39a≤x≤log38a-1时，f（x）=f₂（x）（6分）
②当0≤x＜log39a时，因为a•3^x-9＜0，3^x-1≥0，
所以由f₂（x）-f₁（x）=（9-a•3^x）-（3^x-1）=10-（a+1）3^x≤0，解得x≥log310a+1，
从而当log310a+1≤x＜log39a时，f（x）=f₂（x）（7分）
③当x＜0时，因为f₂（x）-f₁（x）=（9-a•3^x）-（1-3^x）=8-（a-1）3^x＞0，
从而f（x）=f₂（x）一定不成立（8分）
综上得，当且仅当x∈[log310a+1，log38a-1]时，f（x）=f₂（x），
故l=log38a-1-log310a+1=log3[45(1+2a-1)]（9分）
从而当a=2时，l取得最大值为log3125（10分）
（Ⅲ）“当x∈[2，+∞）时，f（x）=f₂（x）”
等价于“f₂（x）≤f₁（x）对x∈[2，+∞）恒成立”，
即“|a•3^x-9|≤|3^x-1|=3^x-1（*）对x∈[2，+∞）恒成立”（11分）
①当a≥1时，log39a≤2，则当x≥2时，a•3x-9≥a•3log39a-9=0，
则（*）可化为a•3^x-9≤3^x-1，即a≤1+83x，而当x≥2时，1+83x＞1，
所以a≤1，从而a=1适合题意（12分）
②当0＜a＜1时，log39a＞2．
（1）当x＞log39a时，（*）可化为a•3^x-9≤3^x-1，即a≤1+83x，而1+83x＞1，
所以a≤1，此时要求0＜a＜1（（13分）
（2）当x=log39a时，（*）可化为0≤3x-1=9a-1，
此时只要求0＜a＜9（14分）
（3）当2≤x＜log39a时，（*）可化为9-a•3^x≤3^x-1，即a≥103x-1，而103x-1≤19，
所以a≥19，此时要求19≤a＜1（15分）
由（1）（2）（3），得19≤a＜1符合题意要求．
综合①②知，满足题意的a存在，且a的取值范围是19≤a≤1（16分）

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解析

9a

考点

据考高分专家说，试题“已知f1（x）=|3x-1|，f2（x）.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。