已知函数y=f满足f+f=1．求f(12)和f(1n)+f(n-1n)(n∈N*)的值；若数列{an}满足an=f(

题文

已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x）+f（1-x）=1．
（1）求f(12)和f(1n)+f(n-1n)(n∈N*)的值；
（2）若数列{an}满足an=f(0)+f(1n)+f(2n)+…+f(n-1n)+f(1)（n∈N*），求{a_n}的通项公式；
（3）若数列{b_n}满足b_n=2ⁿ⁺¹•a_n，S_n是数列{b_n}前n项的和，是否存在正实数k，使不等式knS_n＞4b_n对于一切的n∈N^*恒成立？若存在指出k的取值范围，并证明；若不存在说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令x=12，f(12)+f(1-12)=1，∴f(12)=12，
令x=1n，f(1n)+f(n-1n)=1
（2）∵an=f(0)+f(1n)+f(2n)++f(n-1n)+f(1)①
∴an=f(1)+f(n-1n)+f(n-2n)++f(1n)+f(0)②
由（Ⅰ），知f(1n)+f(n-1n)=1
∴①+②，得2an=(n+1)．∴an=n+12．
（3）∵b_n=2ⁿ⁺¹•a_n，∴b_n=（n+1）•2ⁿ
∴S_n=2•2¹+3•2²+4•2³+…+（n+1）•2ⁿ，①
2S_n=2•2²+3•2³+4•2⁴+…+n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹，②
①-②得-S_n=4+2²+2³+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹
即S_n=n•2ⁿ⁺¹
要使得不等式knS_n＞4b_n恒成立，
即kn²-2n-2＞0对于一切的n∈N^*恒成立，n=1时，k-2-2＞0成立，即k＞4
设g（n）=kn²-2n-2
当k＞4时，由于对称轴直线n=1k＜1，
且g（1）=k-2-2＞0，而函数f（x）在[1，+∞）是增函数，
∴不等式knS_n＞b_n恒成立
即当实数k大于4时，不等式knS_n＞b_n对于一切的n∈N^*恒成立．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。