已知函数f的定义域为，且对任意的正实数x，y都有f=f+f，且当x＞1时，f＞0，f=1，求证：f

题文

已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对任意的正实数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＞0，f（4）=1，
（1）求证：f（1）=0；
（2）求f（116）；
（3）解不等式f（x）+f（x-3）≤1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：令x=4，y=1，则f（4）=f（4×1）=f（4）+f（1）．
∴f（1）=0．
（2）f（16）=f（4×4）=f（4）+f（4）=2，f（1）=f（116×16）=f（116）+f（16）=0，
故f（116）=-2．
（3）设x₁，x₂＞0且x₁＞x₂，于是f（x1x2）＞0，
∴f（x₁）=f（x1x2×x₂）=f（x1x2）+f（x₂）＞f（x₂）．
∴f（x）为x∈（0，+∞）上的增函数．
又∵f（x）+f（x-3）=f[x（x-3）]≤1=f（4），
∴x＞0x-3＞0x(x-3)≤4⇒3＜x≤4．
∴原不等式的解集为{x|3＜x≤4}．

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解析

116

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。