设函数f的定义域为且对任意正实数x、y都有f=f+f恒成立．已知f=1且x＞1时f＞0．求f的值

题文

设函数f（x）的定义域为（0，+∞）且对任意正实数x、y都有f（xy）=f（x）+f（y）恒成立．已知f（2）=1且x＞1时f（x）＞0．
（1）求f（12）的值；
（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并证明；
（3）一个各项均为正数的数列{a_n}满足f（S_n）=f（a_n）+f（a_n+1）-1（n∈N^*），其中S_n是数列{a_n}的前n项和，求{a_n}的通项公式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令x=y=1，得f（1）=0
而令x=2，y=12，得f（1）=f（2）+f（12）
∴f（12）=-f（2）=-1，（4分）
（2）在（0，+∞）上任取两数x₁，x₂，且x₁＜x₂，
令x2x1=k，则f（k）＞0
∴f（x₂）=f（kx₁）=f（k）+f（x₁）＞f（x₁）
∴f（x）在（0，+∞）上是单调增函数．（8分）
（3）f（S_n）=f（a_n）+f（a_n+1）-1（n∈N^*）
=f（a_n）+f（a_n+1）+f（12）
=f[an(an+1)2]，
由于f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，
∴S_n=an(an+1)2，n∈N^*）
∴S _n-1=an-1(an-1+1)2，n≥2
两式相减，有a2n-a2n-1+an-an-12=a_n，
整理得（a_n+a_n-1）（a _n-a _n-1-1）=0
∵a_n＞0，∴a _n-a _n-1-1=0，a _n-a _n-1=1，n≥2
所以数列{a_n}是公差为1的等差数列，
当n=1时，a₁=S₁=a1(a1+1)2，a₁=1
∴a_n=n        （14分）

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解析

12

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）的定义域为（0，+∞）且对.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。