已知函数f是定义在[-1，1]上的函数，若对于任意x，y∈[-1，1]，都有f=f+f，且x＞0时，有f＞0判断函数的奇

题文

已知函数f（x）是定义在[-1，1]上的函数，若对于任意x，y∈[-1，1]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，有f（x）＞0
（1）判断函数的奇偶性；
（2）判断函数f（x）在[-1，1]上是增函数，还是减函数，并用单调性定义证明你的结论；
（3）设f（1）=1，若f（x）＜（1-2a）m+2，对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令x=y=0，则f（0+0）=f（0）+f（0）∴f（0）=0
令y=-x，则f（x-x）=f（0）=f（x）+f（-x），∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）是奇函数．（4分）
（2）函数f（x）在[-1，1]上是增函数．（6分）
设x₁，x₂∈[-1，1]且x₁＜x则x₂-x₁＞0
∴f（x₁）-f（x₂）=-f（x₂-x₁）
又∵x＞0，f（x）＞0∴f（x₂-x₁）＞0
∴f（x₁）-f（x₂）=-f（x₂-x₁）＜0即f（x₁）＜f（x₂）
故由函数单调性定义可知，函数f（x）在[-1，1]上是增函数．（10分）
（3）设f（1）=1，若f（x）＜（1-2a）m+2，对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立．
则必须（1-2a）m+2＞1，∀a∈[-1，1]恒成立；
即-2ma+m+1＞0，∀a∈[-1，1]恒成立
令g（a）=-2ma+m+1必须g(-1)＞0g(1)＞0即-2m(-1)+m+1＞0-2m+m+1＞0
解得-13＜m＜1
故实数m的取值范围为-13＜m＜1．（14分）

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解析

g(-1)＞0g(1)＞0

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）是定义在[-1，1]上的.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。