题文
定义在（0，+∞）的函数f（x），对于任意的a，b∈（0，+∞），都有f（ab）=f（a）+f（b）成立，当x＞1时，f（x）＜0．（1）求证：1是函数f（x）的零点；
（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并证明；
（3）若f(14)=12，解不等式f(mx+116)＞1（m＞0）． 题型：未知 难度：其他题型
答案
证明：（1）令a=b=1，则f（1×1）=f（1）+f（1）=f（1），
∴f（1）=0
∴1是函数f（x）的零点．
（2）令a=x，b=1x，
则f（1）=f（x•1x）=f（x）+f（1x）=0，
∴f（1x）=-f（x），
任意x1、x2∈（0，+∞），且x2＞x1＞0，
∴x2x1＞1，
∴f(x2x1) =f(x2) +f(1x1) =f(x2) -f(x1)＜0，
∴f（x2）＜f（x1）
∴函数f（x）在（0，+∞）上是单调递减函数．
（3）∵f(116) =f(14) +f(14) =12+12=1，
∴不等式f(mx+116)＞1．即为：f(mx+116)＞f(116)，
又因为函数f（x）在（0，+∞）上是单调递减函数，
∴0＜mx+116＜116，又∵m＞0，
解得：-116m＜x＜0
故不等式的解集为：x|-116m＜x＜0}．
点击查看分段函数与抽象函数知识点讲解,巩固学习
解析
1x考点
据考高分专家说，试题“定义在（0，+∞）的函数f（x），对于任.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数分段函数：
1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。
抽象函数：
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。
知识点拨：
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。
