设α∈(0，π2)，函数f的定义域为[0，1]且f=0，f=1当x≥y时有f=fsinα+f．求

题文

设α∈(0，π2)，函数f（x）的定义域为[0，1]且f（0）=0，f（1）=1当x≥y时有f（x+y2）=f（x）sinα+（1-sinα）f（y）．
（1）求f（12），f（14）；
（2）求α的值；
（3）求函数g（x）=sin（α-2x）的单调区间． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f（12）=f（1+02）=f（1）sinα+（1-sinα）f（0）=sin α．
f（14）=f（12+02）=f（12）sinα+（1-sinα）f（0）=sin²α．
（2）∵f（34）=f（1+122）=f（1）sinα+（1-sinα）f（12）=sinα+（1-sinα）sinα=2sinα-sin²α．
f（12）=f（34+142）=f（34）sinα+（1-sinα）f（14）=（2sinα-sin²α ）sinα+（1-sinα）sin²α=3sin²α-2sin³α，
∴sinα=3sin²α-2sin³α，解得sin α=0，或 sin α=1，或 sin α=12．
∵α∈(0，π2)，∴sin α=12，α=π6．
（3）函数g（x）=sin（α-2x）=sin（π6-2x）=-sin（2x-π6），令 2kπ-π2≤2x-π6≤2kπ+π2，k∈z，可得 kπ-π6≤x≤kπ+π3，
故函数g（x）的减区间为[kπ-π6，kπ+π3]，k∈z．
 令 2kπ+π2≤2x-π6≤2kπ+3π2，k∈z，可得 kπ+π3≤x≤kπ+5π6，故函数g（x）的增区间为[kπ+π3，kπ+5π6]，k∈z．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“设α∈(0，π2)，函数f（x）的定义域.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。