定义在R上的函数f满足：如果对任意x1，x2∈R，都有f(x1+x22)≤12[f(x1)+f(x2)]，则称函数f是R上的凹函数，已知二次函数f（

题文

定义在R上的函数f （x）满足：如果对任意x₁，x₂∈R，都有f(x1+x22)≤12[f(x1)+f(x2)]，则称函数f （x）是R上的凹函数，已知二次函数f（x）=ax²+x（a∈R，a≠0），
（1）当a=1时，试判断函数f （x）是否为凹函数，并说明理由；
（2）如果函数f （x）对任意的x∈[0，1]时，都有|f（x）|≤1，试求实数a的范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a=1时，函数f（x）是凹函数，
此时f（x）=x²+x，f(x1+x22)=（x1+x22）²+（x1+x22），12[f（x₁）+f（x₂）]=12[x₁²+x₁+x₂²+x₂]，
作差得到：f(x1+x22)²-12[f（x₁）+f（x₂）]
=（x1+x22）²+（x1+x22）-12（x₁²+x₂²）-12（x₁+x₂）
=x21+2x1x2+x224-2x21+2x224
=-x21+2x1x2-x224=-(x1+x22)2≤0，
即有f(x1+x22)≤12[f（x₁）+f（x₂）]，
故知函数f（x）=x²+x为凹函数；
（2）由-1≤f（x）=ax²+x≤1，
则有ax2+x≥-1ax2+x≤1⇒ax2≥-x-1ax2≤-x+1.
i）若x=0时，则a∈R恒成立，
ii）若x∈（0，1]时，有a≥-1x-1x2a≤-1x+1x2⇒a≥-(1x+12)2+14   (1)a≤(1x-12)2-14.   (2)
∵0＜x≤1⇒1x≥1．
∴当1x=1时，a≥-(1+12)2+14=-2a≤(1-12)2-14=0
所以0≥a≥-2．

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解析

x1+x22

考点

据考高分专家说，试题“定义在R上的函数f（x）满足：如果对任意.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。