集合A是由具备下列性质的函数f组成的：①函数f的定义域是[0，+∞）；②函数f的值域是[-2，4）；③函数f在[0，+∞）上是增函数．试

题文

集合A是由具备下列性质的函数f （x）组成的：①函数f （x）的定义域是[0，+∞）；②函数f（x）的值域是[-2，4）；③函数f（x）在[0，+∞）上是增函数．试分别探究下列两小题：
（1）判断函数f1(x)=x-2(x≥0)，及f2(x)=4-6•(12)x(x≥0)是否属于集合A，并简要说明理由；
（2）对于（1）中你认为属于集合A的函数f（x），不等式f（x）+f（x+2）＜2f（x+1）是否对于任意的x≥0总成立？若不成立，说明理由？若成立，请证明你的结论． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵函数f1(x)=x-2(x≥0)的值域[-2，+∞）
∴f₁（x）∉A
对于f₂（x），定义域为[0，+∞），满足条件①．而由x≥0知(12)x∈(0，1]，
∴4-6(12)x∈[-2，4)，满足条件②
又∵0＜12＜1，
∴u=(12)x在[0，+∞）上是减函数．
∴f₂（x）在[0，+∞）上是增函数，满足条件③
∴f₂（x）属于集合A．
（2）由（1）知，f₂（x）属于集合A．
∴原不等式为4-6•(12)x+4-6•(12)x+2＜2[4-6•(12)(x+1)]
整理为：-32•(12)x＜0．
∵对任意x≥0，(12)x＞0，
∴原不等式对任意x≥0总成立

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解析

x

考点

据考高分专家说，试题“集合A是由具备下列性质的函数f（x）组成.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。