定义在上的函数f满足：对任意的x，y∈，都有f=f+f-1，且当0＜x＜1时，都有f＞1成立．判断

题文

定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：对任意的x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y）-1，且当0＜x＜1时，都有f（x）＞1成立．
（1）判断并证明f（x）在定义域（0，+∞）上的单调性；
（2）若f（9）=7，解不等式：f（x²+2x）＞4 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）函数f（x）在定义域（0，+∞）上是一个减函数．证明如下：
     设0＜x₁＜x₂，则 0＜x1x2＜1，于是有：f(x1x2)＞1
      f（x₁）=f(x2•x1x2)=f（x₂）+f(x1x2)-1＞f（x₂）+1-1=f（x₂）
      即：f（x₁）＞f（x₂）．
      由函数的单调性定义可知：函数f（x）在定义域（0，+∞）上是一个减函数．
（2）由已知，f（3×3）=f（3）+f（3）-1=7，即得：f（3）=4，因此有
     f（x²+2x）＞4=f（3），又有（1）的结论以及函数f（x）的定义域为（0，+∞），得不等式组：
     x2+2x＞03＞0x2+2x ＜3，解得：-3＜x＜-2或0＜x＜1
所以：（1）数f（x）在定义域（0，+∞）上是一个减函数
          （2）不等式f（x²+2x）＞4的解集为：{x|-3＜x＜-2或0＜x＜1}

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解析

x1x2

考点

据考高分专家说，试题“定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。