题文
设函数y=f（x）是定义在R+上的函数，并且满足下面三个条件：（1）对任意正数x、y，都有f（xy）=f（x）+f（y）；
（2）当x＞1时，f（x）＜0；
（3）f（3）=-1，
（I）求f（1）、f(19)的值；
（II）如果不等式f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范围．
（III）如果存在正数k，使不等式f（kx）+f（2-x）＜2有解，求正数k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（I）令x=y=1易得f（1）=0．而f（9）=f（3）+f（3）=-1-1=-2 且f(9)+f(19)=f(1)=0，
得f(19)=2．
（II）设0＜x1＜x2＜+∞，由条件（1）可得f(x2)-f(x1)=f(x2x1)，
因x2x1＞1，由（2）知f(x2x1)＜0，
所以f（x2）＜f（x1），
即f（x）在R+上是递减的函数．
由条件（1）及（I）的结果得：f[x(2-x)]＜f(19)
其中0＜x＜2，由函数f（x）在R+上的递减性，可得：x(2-x)＞190＜x＜2，
由此解得x的范围是(1-223，1+223)．
（III）同上理，不等式f（kx）+f（2-x）＜2可化为kx(2-x)＞19且0＜x＜2，
得k＞19x(2-x)，此不等式有解，等价于k＞[19x(2-x)]min，
在0＜x＜2的范围内，易知x（2-x）max=1，
故k＞19即为所求范围．
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解析
19考点
据考高分专家说，试题“设函数y=f（x）是定义在R+上的函数，.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数分段函数：
1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。
抽象函数：
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。
知识点拨：
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。
