已知f的定义域是x≠0的一切实数，对于定义域内任意的x1，x2都有f=f+f，且当x＞1时，f＞0，f=1．（1

题文

已知f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对于定义域内任意的x₁，x₂都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），且当x＞1时，f（x）＞0，f（2）=1．
（1）求证f（x）是偶函数；
（2）求证f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）若f（a+1）＞f（a）+1，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意知，对定义域内的任意x₁，x₂都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），
令x₁=x₂=1，代入上式解得f（1）=f（1）+f（1）∴f（1）=0
令x₁=x₂=-1，代入上式解得f（1）=f（-1）+f（-1）=0∴f（-1）=0，
令x₁=-1，x₂=x代入上式，∴f（-x）=f（-1•x）=f（-1）+f（x）=f（x），
∴f（x）是偶函数．
（2）设x₂＞x₁＞0，则f(x2)-f(x1)=f(x1•x2x1)-f(x1)=f(x1)+f(x2x1)-f(x1)=f(x2x1)
∵x₂＞x₁＞0，∴x2x1＞1，∴f(x2x1)＞0，
即f（x₂）-f（x₁）＞0，∴f（x₂）＞f（x₁）
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（3）∵f（2）=1
∴f（a+1）＞f（a）+1=f（a）+f（2）=f（2a）
∵f（x）是偶函数；
∴f（|x|）=f（-x）=f（x）则f（a+1）＞f（2a）即f（|a+1|）＞f（|2a|）
∵f（x）在（0，+∞）上是增函数．
∴|a+1|＞|2a|
两边平方得a²+2a+1＞4a²
即3a²-2a-1＜0解得-13＜a＜1

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解析

x2x1

考点

据考高分专家说，试题“已知f（x）的定义域是x≠0的一切实数，.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。