函数f的定义域为{x|x≠0}，且满足对于定义域内任意的x1，x2都有等式f=f+f求f的值；判断f

题文

函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，且满足对于定义域内任意的x₁，x₂都有等式f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）
（1）求f（1）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）若f（4）=1，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，解关于x的不等式f（3x+1）+f（2x-6）≤3． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令x₁=1，得f（1•x₂）=f（1）+f（x₂）=f（x₂）
∴f（1）=0；
（2）令x₁=x₂=-1，得f（-1•（-1））=f（-1）+f（-1）=f（1）=0
∴f（-1）=0
因此f（-x）=f（-1•x）=f（-1）+f（x）=f（x）
∴f（x）为偶函数
（3）∵f（4）=1，∴f（16）=f（4•4）=f（4）+f（4）=2
因此，f（64）=f（16•4）=f（16）+f（4）=3
∴不等式f（3x+1）+f（2x-6）≤3即f[（3x+1）（2x-6）]≤f（64）
∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，且是偶函数
∴原不等式可化为-64≤（3x+1）（2x-6）≤64
解之得：-73≤x≤5
∵函数定义域为{x|x≠0}
∴（3x+1）（2x-6）≠0，得x≠-13且x≠3
综上所述，原不等式的解集为{x|：-73≤x≤5且x≠-13且x≠3}

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解析

73

考点

据考高分专家说，试题“函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，且.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。