已知函数f的定义域为，且满足条件：①f=f+f ②f=1 ③当x＞1时，f＞0求f的值；讨

题文

已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且满足条件：
①f（x•y）=f（x）+f（y）    ②f（2）=1    ③当x＞1时，f（x）＞0
（1）求f（1）的值；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）求满足f（x）+f（2x）≤2的x的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）在①中令x=y=1，得f（1）=f（1）+f（1）故 f（1）=0   …（2分）
（2）在①中令y=1x，得f（1）=f（x）+f（1x）=0
即f（1x）=-f（x），
函数f（x）在（0，+∞）上的单调递增，理由如下：
任取x₁，x₂，设x₂＞x₁＞0，
∴x2x1＞1
∵当x＞1时，f（x）＞0
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（1x1）=f（x2x1）＞0   …（6分）
f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，…（8分）
（3）由f（2）=1，得2f（2）=2=f（2）+f（2）=f（4）…（9分）
∴f（x）+f（2x）≤2可化为
x＞02x＞0x•2x≤4
解得0＜x≤2．…（12分）

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解析

1x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。