已知函数f对任意的实数x，y都有：f=f+f-1，且x＞0时，f＞1．求证：f是R上的增函数；若关于x的不等

题文

已知函数f（x）对任意的实数x，y都有：f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且x＞0时，f（x）＞1．
（1）求证：f（x）是R上的增函数；
（2）若关于x的不等式f（x²-ax+5a）＜2的解集是{x|-3＜x＜2}，求f（2010）的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：设-∞＜x₁＜x₂＜+∞，则x₂-x₁＞0，
∴f（x₂-x₁）＞1
∴f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₁）+f（x₂-x₁）-1＞f（x₁）
∴f（x）是R上的增函数．
（2）设f（b）=2，则f（x²-ax+5a）＜f（b）
⇔x²-ax+5a-b＜0⇔-3＜x＜2
∴-3+2=a-3×2=5a-b⇔a=-1b=1
∴f（1）=2．
在f（x+y）=f（x）+f（y）-1中，令x=n，y=1得f（n+1）=f（n）+f（1）-1
∴f（n+1）-f（n）=1．
∴数列{f（n）}是首项为2，公差为1的等差数列．
∴f（n）=2+（n-1）×1=n+1
∴f（2010）=2011．

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解析

-3+2=a-3×2=5a-b

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）对任意的实数x，y都有：.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。