已知定义域在R上的函数f满足f=f+f，且当x＞0时，f＞0，求f．判断函数的奇偶性，并证明之．解不等

题文

已知定义域在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，
（1）求f（0）．
（2）判断函数的奇偶性，并证明之．
（3）解不等式f（a²-4）+f（2a+1）＜0． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）取x=y=0则f（0）=2f（0）∴f（0）=0
（2）f（x）是奇函数．其证明如下：
对任意x∈R，取y=-x则f[x+（-x）]=f（x）+f（-x）=f（0）=0即f（-x）=-f（x）
∴f（x）是R上的奇函数
（3）任意取x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，则x₂=x₁+△x（其中△x＞0）
∴f（x₂）=f（x₁+△x）=f（x₁）+f（△x）
∴f（x₂）-f（x₁）=f（△x）＞0即f（x₂）＞f（x₁）
∴f（x）是R上的增函数
又∵f（a²-4）+f（2a+1）＜0
∴f（2a+1）＜-f（a²-4）=f（4-a²）
∴2a+1＜4-a²即a²+2a-3＜0
∴-3＜a＜1

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知定义域在R上的函数f（x）满足f（x.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。