已知函数f满足下列条件：定义域为[0，1]；对于任意x∈[0，1]，f≥0，且f=1；当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时

题文

已知函数f（x）满足下列条件：
（Ⅰ）定义域为[0，1]；
（Π）对于任意x∈[0，1]，f（x）≥0，且f（1）=1；
（Ⅲ）当x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1时，f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立．
（1）求f（0）的值；
（2）证明：对于任意的0≤x≤y≤1，都有f（x）≤f（y）成立；
（3）当0≤x≤1时，探究f（x）与2x的大小关系，并证明你的结论． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由函数f（x）满足条件（Π）知f（0）≥0；（1分）
在条件（Ⅲ）中，令x₁=x₂=0得：f（0）≥f（0）+f（0），
∴f（0）≤0；（3分）
故f（0）=0．（4分）
（2）证明：对于任意的0≤x≤y≤1，有0≤y-x≤1成立；（5分）
由f（x）满足条件（Π）可得：f（y-x）≥0；（6分）
再由f（x）满足条件（Ⅲ）可得：
f（y）=f[（y-x）+x]≥f（y-x）+f（x）≥f（x），（8分）
即对于任意的0≤x≤y≤1，都有f（x）≤f（y）成立；（9分）
（3）当12≤x≤1时，2x≥1，
由第（2）问结论知f（x）≤f（1）=1，∴f（x）≤2x；
当x=0时，由f（0）=0知f（x）≤2x也成立；
故可猜想：当0≤x≤1时，f（x）≤2x（10分）
下面用反证法证明猜想成立：
假设存在x_°∈[0，1]，使得f（x₀）＞2x₀，
由f（0）=0知x₀≠0，故必存在正整数k
使得x₀∈[12k，12k-1]，∴x₀，2x₀，4x₀，，2^k-1x₀均在[0，1上，
由条件（Ⅲ）及假设知：
f（2x₀）=f（x₀+x₀）≥f（x₀）+f（x₀）=2f（x₀）＞4x₀，
故f（4x₀）＞8x₀，，f（2^k-1x₀）＞2^kx₀；（12分）
∵x₀∈[12k，12k-1]，∴12≤2k-1x0≤1，∴f（2^k-1x₀）≤f（1）=1
又∵2^kx₀≥1，f（2^k-1x₀）＞2^kx₀，
∴f（2^k-1x₀）＞1，与f（2^k-1x₀）≤1矛盾，故假设不成立；
所以对于任意的0≤x≤1，都有f（x）≤2x成立．（14分）

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解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）满足下列条件：（Ⅰ）定义.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。