设y=f为定义在区间I上的函数，若对I上任意两个实数x1，x2都有f(x1+x22)≤12[f(x1)+f(x2)]成立，则f称为I上的凹函数．（1

题文

设y=f（x）为定义在区间I上的函数，若对I上任意两个实数x₁，x₂都有f(x1+x22)≤12[f(x1)+f(x2)]成立，则f（x）称为I上的凹函数．
（1）判断f(x)=3x(x＞0)是否为凹函数？
（2）已知函数f₂（x）=x|ax-3|（a≠0）为区间[3，6]上的凹函数，请直接写出实数a的取值范围（不要求写出解题过程）；
（3）设定义在R上的函数f₃（x）满足对于任意实数x，y都有f₃（x+y）=f₃（x）•f₃（y）．求证：f₃（x）为R上的凹函数． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f（x）是凹函数，证明如下：
∀x₁，x₂∈（0，+∞），∵12[f(x1)+f(x2)]=12(3x1+3x2)≥3x1x2≥3x1+x22=f(x1+x22)
∴f(x1+x22)≤12[f(x1)+f(x2)]，
∴f(x)=3x(x＞0)是凹函数
（2）∵函数f₂（x）=x|ax-3|=ax2-3x    ax≥3-ax2+3x  ax＜3
结合二次函数的图象，要想使函数f₂（x）为区间[3，6]上的凹函数，需a＜0或a＞03a≤3
∴a的取值范围为（-∞，0）∪[1，+∞）
（3）证明：设∀x₁，x₂∈R
f3(x1)+f3(x2)=f3(x12+x12)+f3(x22+x22)
=f32(x12)+f32(x22)≥2f3(x12)•f3(x22)=2f3(x1+x22)
即f3(x1)+f3(x2)2≥f3(x1+x22)
故f₃（x）为R上的凹函数

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“设y=f（x）为定义在区间I上的函数，若.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。