定义在非零实数集上的函数f对任意非零实数x，y恒有f=f+f，当x∈时，f为增函数，且f=1．求f

题文

定义在非零实数集上的函数f（x）对任意非零实数x，y恒有f（xy）=f（x）+f（y），当x∈（0，+∞）时，f（x）为增函数，
且f（2）=1．
（1）求f（1），f（-1）的值，并求证：f（x）为偶函数；
（2）判断并证明f（x）在（-∞，0）的单调性；
（3）解不等式：f（x）-f（x-2）＞3． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令x=y=1得：
f（1）=f（-1）=0，
f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x）
∴f（x）为偶函数；
（2）f（x）在（-∞，0）为单调减函数；
设x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=f[（x₁-x₂）+x₂]-f（x₂）=f（x₂）[f（x₁-x₂）-1]
∵x₁-x₂＜0
∴f（x₁-x₂）＞f（0）=1
∴f（x₁-x₂）-1＞0
对f（x₂）＞0
∴f（x₂）f[（x₁-x₂）-1]＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）故f（x）在（-∞，0）上是减函数．
（3）f（2）=1得f（4）=2，f（8）=3，
所以f（x）＞f（x-2）+f（8）=f（8x-16）
根据奇偶性和单调性得|x|＞|8x-16|，x²＞（8x-16）²，即63x²-256x+256＜0
解得：169＜x＜167且x≠2．

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解析

169

考点

据考高分专家说，试题“定义在非零实数集上的函数f（x）对任意非.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。