题文
若函数f（x）对于任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）．且f( 1 )=19，给出如下命题：①f（0）=0；②对于任意的x，都有f（2x）=2f（x）；③f（x）是奇函数；④对任意的x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）；⑤函数f（x）的值域也是R．你认为正确命题的序号有（ ）A．①②③B．①②③④C．①②③⑤D．①②③④⑤ 题型：未知 难度：其他题型
答案
①∵f（x+y）=f（x）+f（y）对于任意x，y∈R都成立．令x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0）
解得f（0）=0；
②令y=x，代入已知条件f（x+y）=f（x）+f（y）⇒f（2x）=2f（x）；
③函数f（x）是R上的奇函数．
证明：令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴函数f（x）是R上的奇函数．
④∵f( 1 )=19，f（x+y）=f（x）+f（y）
∴所有的 正数都可以用f( 1 )=19表示出来，且在（0，+∞）上是增函数
所以④⑤都成立．
故①②③④⑤都成立．
故选D．
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解析
19考点
据考高分专家说，试题“若函数f（x）对于任意x，y∈R，都有f.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数分段函数：
1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。
抽象函数：
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。
知识点拨：
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。
