各项为正数的数列{an} 的前n项和为Sn，且满足：Sn=14an2+12an+14求an；设函数f=an(n为奇数)f(n2)，

题文

各项为正数的数列{a_n} 的前n项和为S_n，且满足：S_n=14an²+12an+14（n∈N^*）
（1）求a_n；
（2）设函数f（n）=an(n为奇数)f(n2)，(n为偶数)，c_n=f（2ⁿ+4（n∈N^*），求数列{c_n} 的前n项和T_n；
（3）设λ为实数，对满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m、n、k，不等式S_m+S_n＞λS_k恒成立，求实数λ的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由S_n=14an²+12an+14（n∈N^*）…①
得n≥2时，S_n-1=14an-1²+12an-1+14（n∈N^*）…②
①-②化简可得，（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0
又a_n＞0，所以当n≥2时，a_n-a_n-1=2
∴数列{a_n} 成等差数列，公差为2
又a1=S1=14a21 +12a1+14则a₁=1
∴a_n=2n-1
（2）由f（n）=an(n为奇数)f(n2)，(n为偶数)，
可得c₁=f（6）=f（3）=a₃=5
c₂=f（8）=f（4）=f（2）=f（1）=a₁=1
当n≥3时
c_n=f（2ⁿ+4）=f（2^n-1+2）=f（2^n-2+1）=2（2^n-1+1）-1=2^n-1+1
故当n≥3时
T_n=2ⁿ+n
∴Tn=5        (n=1)2n+n  (n≥2)
  （3）S_m+S_n＞λS_k⇒m²d²+n²d²＞c•k²d²⇒m²+n²＞λ•k²，λ＜m2+n2k2恒成立．
又m+n=3k且m≠n，2(m2+n2)＞(m+n)2=9k2⇒m2+n2k2＞92，
故λ≤92，即λ的最大值为 92．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“各项为正数的数列{an} 的前n项和为S.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数

分段函数：

1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 
抽象函数：

我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。

知识点拨：

1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。