题文
设函数f（x）是定义域在（0，+∞），且对任意m，n∈（0，+∞）都有f（mn）=f（m）+f（n），f（4）=1，当x＞1时，恒有f（x）＞0（1）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数
（2）解不等式f（x+6）+f（x）＜2
（3）若∀x∈[4，16]，都有f（x）≤a，求实数a的取值范围 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）设0＜a＜b，则b-a＞0，ba＞1，∵任意m，n∈（0，+∞）都有f（mn）=f（m）+f（n），
∴f（b）=f（ba•a）=f（ba）+f（a），
∵当x＞1时，恒有f（x）＞0，∴f（b）-f（a）=f（ba）＞0，
∴f（a）＜f（b），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（2）∵f（4）=1，
∴f（16）=f（4×4）=f（4）+f（4）=2，
不等式即不等式即：f（x（x+6））＜f（16），
∵f（x）在（0，+∞）上是增函数．
∴x（x+6）＜16，∴x＜-8 或x＞2，
f（x）定义域是（0，+∞），
∴x＞2，
∴不等式的解集是{ x|x＞2}．
（3）由（2）的结果知，
x∈[4，16]时，f（x）≤f（16）=2，∴a≥2．
∴实数a的取值范围是 a≥2．
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解析
ba考点
据考高分专家说，试题“设函数f（x）是定义域在（0，+∞），且.....”主要考查你对 [分段函数与抽象函数 ]考点的理解。 分段函数与抽象函数分段函数：
1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；
分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。
抽象函数：
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；
一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。
知识点拨：
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。
2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。
3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。
